Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=AC=4cm，于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s，點Q沿CA，AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為t(s)，

（1）求t為何值時，；
（2）當時，求證：AD平分△PQD的面積；
（3）當時，求△PQD面積的最大值.

Answer 1

（1）當t=（Q在AC上）時，；
（2）證明見解析；
（3）當t=1時，△PQD面積的最大值為．

試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
（2）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；
（3）△PQD面積與t的函數關系式，再求最大值即可．
試題解析：（1）當Q在AB上時，顯然不存在；
當Q在AC上時，BP=t，CQ=2x，PC=4-t
∵AB=BC=AC=4cm，
∴∠C=60°
若，則∠QPC=30°
∴PC=2QC，
∴4-t=2×2t，
∴t=，
當t=（Q在AC上）時，；
（2）過點Q作QE⊥BC于點E，

∵∠ODP=90°=∠QEP，∠OPD=∠QPD
∴△ODP∽△QEP
∴
∵當時，BP=t， PD="2-t" ，
又CQ=2t，CE=t，PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t
∴PD=PE，
∴OD=QE
∵，
∴，
∴AD平分△PQD的面積；
（3）當時，設△PQD面積為，
∵PD="2-t" ，QE=
∴==
∴當t=1時，△PQD面積的最大值為．