Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過AB的中點E作EC⊥OA，垂足為C，過點B作直線BD交CE的延長線于點D，使得DB=DE．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）27．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質和切線的判定方法可以求得∠OBD的度數，從而可以證明結論成立；

（2）要求△AOB的面積只要求出OE的長即可，根據題目中的條件和三角形相似的知識可以求得OE的長，從而可以解答本題．

（1）∵OA=OB，DB=DE，

∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，

∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，

∴∠A+∠DEB=90°，

∴∠OBA+∠DBE=90°，

∴∠OBD=90°，

∵OB是圓的半徑，

∴BD是⊙O的切線；

（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接OE，

∵點E是AB的中點，AB=12，

∴AE=EB=6，OE⊥AB，

又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，

∴EF=BF=3，

∴DF==4，

∵∠AEC=∠DEF，

∴∠A=∠EDF，

∵OE⊥AB，DF⊥AB，

∴∠AEO=∠DFE=90°，

∴△AEO∽△DFE，

∴，

即，得EO=4.5，

∴△AOB的面積是：=27．