Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足為D點，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，點G為AB的中點，連接DG，交AE于點H，

（1）求∠ACB的度數；
（2）HE= AF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣45°）=67.5°

（2）解：連結HB，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∴∠CAE+∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠CBD+∠C=90°，

∴∠CAE=∠CBD，

∵BD⊥AC，D為垂足，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DBA=45°，

∴∠DBA=∠DAB，

∴DA=DB，

在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），

∴BC=AF，

∵DA=DB，點G為AB的中點，

∴DG垂直平分AB，

∵點H在DG上，

∴HA=HB，

∴∠HAB=∠HBA= ∠BAC=22.5°，

∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，

∴∠HBE=∠ABC﹣∠ABH=67.5°﹣22.5°=45°，

∴∠BHE=∠HBE，

∴HE=BE= BC，

∵AF=BC，

∴HE= AF

【解析】（1）根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可；（2）證△ADF≌△BDC，推出AF=BC，求出HE=BE=CE，即可得出答案．