Question

（2005•威海）已知：如圖1，在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD．直線AD，BC相交于點E．
（1）求∠E的度數；
（2）如果點C，D在⊙O上運動，且保持弦CD的長度不變，那么，直線AD，BC相交所成銳角的大小是否改變？試就以下三種情況進行探究，并說明理由（圖形未畫完整，請你根據需要補全）．
①如圖2，弦AB與弦CD交于點F；
②如圖3，弦AB與弦CD不相交；
③如圖4，點B與點C重合．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD⊥BD得到AB是直徑，連接OC、OD，發現等邊三角形，再根據圓周角定理求得
∠EBD=30°，再進一步求得∠E的度數；
（2）分別畫出三種圖形，圖2中，根據圓周角定理和圓內接四邊形的性質可以求得；圖3中，根據三角形的外角的性質和圓周角定理可以求得；圖4中，根據切線的性質發現直角三角形，根據直角三角形的兩個銳角互余求得．
解答：解：（1）如圖1，連接OC、OD．
∵AD⊥BD，
∴AB是直徑．
∴OC=OD=CD=1．
∴∠COD=60°，
∴∠DBE=30°，
∴∠E=60°．

（2）①如圖2，連接OD、OC，AC．
∵DO=CO=CD=1，
∴△DOC為等邊三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EBD=30°，
∵∠ADB=90°，
∴∠E=90°-30°=60°，
②如圖3，連接OD、OC．同理可得出∠CBD=30°，∠BED=90°-30°=60°．
③如圖4，當點B與點C重合時，則直線BE與⊙0只有一個公共點．
∴EB恰為⊙O的切線．∠E=60°．
點評：此題主要是能夠根據圓周角定理的推論發現AB是直徑，進一步發現等邊三角形COD．從而根據圓周角定理以及圓內接四邊形的性質求解．