Question

（2005•威海）已知拋物線y=（k-1）x²+（2+4k）x+1-4k過點A（4，0）．
（1）試確定拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）在y軸上確定一點P，使線段AP+BP最短，求出P點的坐標；
（3）設M為線段AP的中點，試判斷點B與以AP為直徑的⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A點坐標代入拋物線可得出k值以及點B坐標．
（2）由題意可得點A關于y軸對稱的坐標A′，易求解析式．
（3）本題要靠輔助線的幫助．過點B作BE⊥OA于E，得出E為OA的中點，求出AP的長度，則可判斷．
解答：解：（1）所求拋物線的解析式為：y=-x²+3x=-（x-2）²+3．
頂點B的坐標為（2，3）．

（2）∵y=-x²+3x，
∴y=0時，解得x=4或0，
∴點A的坐標是（4，0），
∴關于y軸的對稱點A′的坐標為（-4，0）．
則直線A'B與y軸的交點就是P點．
設直線A'B的解析式為y=x+2．
∴P的坐標為（0，2）．

（3）過點B作BE⊥OA于E，則BE∥OP．
由拋物線的對稱性可知，點E為OA的中點．
直線BE與AP的交點就是AP的中點M．
AP=2，⊙M的半徑R=
BM=3-1=2＜，
∴點B在⊙M的內部．
點評：本題考查的是圓的相關知識以及二次函數的綜合運用，難度中等．