Question

【題目】（1） [探索發現]正方形中,是對角線上的一個動點(與點不重合),過點作交線段于點．求證:

小玲想到的思路是:過點作于點于點,通過證明得到．請按小玲的思路寫出證明過程

（2）[應用拓展]如圖2,在的條件下，設正方形的邊長為,過點作交于點．求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；

（2）連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．

證明:過點作于點，于點

是對角線上的動點

，

∠GPC+∠CPE= 90°

（2）連接BD，如圖2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOP=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF．

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE．

在△BOP和△PFE中，

，

∴△BOP≌△PFE（AAS），

∴BO=PF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∴BC=OB．

∵BC=2，

∴OB=，

∴PF=．