Question

【題目】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）如圖，在中，點，分別在，上，設，相交于點，若，．請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形？

（2）在中，如果是不等于的銳角，點，分別在，上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）與∠A相等的角是∠BOD、∠COE，四邊形DBCE是等對邊四邊形；（2）存在等對邊四邊形DBCE，證明見解析；

【解析】

（1）根據三角形外角的性質可得∠BOD＝60°，根據對頂角的性質可得∠COE＝60°；作CG⊥BE于G點，作BF⊥C，D交CD延長線于F點通過證明△BCF≌△CBG，可得BF＝CG，,再證明△BDF≌△CEG，即可證明四邊形DBCE是等對邊四邊形；

（2）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對邊四邊形．

（1）∵∠A=60°，

∴∠OBC=∠OCB=30°

∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋30°＝60°，

∴與∠A相等的角是∠BOD、∠COE，

四邊形DBCE是等對邊四邊形，證明如下：

如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．

∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，

∴△BCF≌△CBG，

∴BF＝CG，

∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD

∴∠BDF＝∠BEC，

又∵∠BFD=∠CGE=90°，BF＝CG，

∴△BDF≌△CEG，

∴BD＝CE，

∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．

（2）存在等對邊四邊形DBCE，理由如下：

如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．

∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，

∴△BCF≌△CBG，

∴BF＝CG，

∵

∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝ ，

∴∠A=∠BOD，

∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，

∴∠BDF＝∠BEC，

又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，

∴△BDF≌△CEG，

∴BD＝CE，

∴四邊形DBCE是等對邊四邊形．