Question

【題目】如圖，已知是的弦，點在上，且，聯結、，并延長交弦于點，，．

（1）求的大小；

（2）若點在上，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）4．

【解析】

（1）連接OB，證OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通過解直角三角形可求出∠OAB的度數；

（2）連接OE，證△OBE是等邊三角形，即可知BE的長度等于半徑．

（1）如圖1，連接OB，

∵，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴180°∠AOC＝180°∠BOC，

∴∠AOD＝∠BOD，

∵OA＝OB，

∴OD垂直平分AB，

∴AD＝BD＝AB＝2，

設⊙O的半徑為r，則OD＝6r，

在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，

∴r2＝（2）2＋（6r）2，

解得，r＝4，

∴cos∠OAD＝＝，

∴∠OAD＝30°，

即∠OAB＝30°；

（2）如圖2，連接OE，

由（1）知，∠OAB＝30°，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB＝30°，

∵EB∥AO，

∴∠EBD＝∠OAB＝30°，

∴∠EBO＝∠EBD＋∠OBA＝60°，

∵OE＝OB，

∴△OEB是等邊三角形，

∴BE＝r＝4．