Question

【題目】在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的內切圓，⊙P分別與CA的延長線、CB的延長線以及直線AB均只有一個公共點，⊙O的半徑為m，⊙P的半徑為n．

（1）當α＝90°時，AC＝6，BC＝8時，m＝　 　，n＝　 　．

（2）當α取下列度數時，求△ABC的面積（用含有m、n的代數式表示）．

①如圖①，α＝90°；

②如圖②，α＝60°．

Answer 1

【答案】（1）2，12；（2）①mn；②mn

【解析】

（1）如圖①，設點D，E，F分別是3個切點，連接PD，PE，PF，連接OA，OB，OC，由勾股定理求得斜邊AB的長，再由面積法可得m的值，由正方形的性質及切線長定理可得n的值；

（2）①由于α=90°，與（1）中度數相同，故解題思路與（1）相同，僅需要將相關線段用m和n表示；

②連接CP，由切線長定理得∠PCE=30°，由含30°角的直角三角形的性質及面積法，可得答案．

（1）如圖①，設點D，E，F分別是3個切點，連接PD，PE，PF，連接OA，OB，OC．

∵AC=6，BC=8，∴AB==10．

∵S△BCA=S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴×6×8=×10m+×6m+×8m，∴m=2．

∵CD，CE是⊙P的切線，D、E為切點，∴CD=CE，∠PDC=∠PEC=90°．

∵∠ACB=90°，∴四邊形DPEC為正方形，∴n=PD=．

由切線長定理可知，AF=AD，BF=BE，∴n====12；

（2）如圖①，由切線的性質，可知PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，PD=PE=PF，設△ABC的面積為S△ABC，周長為C△ABC．

同（1），根據面積法可知m=．

①如圖①．

∵n====．

又∵m=，∴S△ABC==mn．

②如圖②．

連接CP，由切線長定理得：

CD=CE====．

∵PD⊥CD，PE⊥BC，∴CP平分∠ACB，∴∠PCE=30°，∴n=PE===．

又∵m=，∴S△ABC==mn．