Question

【題目】定義：如果一個 與 的函數圖像經過平移后能與某反比例函數的圖像重合，那么稱這個函數是 與 的“反比例平移函數”．
例如: 的圖像向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到 的圖像，則 是 與 的“反比例平移函數”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加 cm、 cm后，得到的新矩形的面積為8 ，求 與 的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數”．
（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為(9，0)、(0，3) ．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數” 的圖像經過B、E兩點．則這個“反比例平移函數”的表達式為；這個“反比例平移函數”的圖像經過適當的變換與某一個反比例函數的圖像重合，請寫出這個反比例函數的表達式 ．

（3）在（2）的條件下， 已知過線段BE中點的一條直線 交這個“反比例平移函數”圖像于P、Q兩點(P在Q的右側)，若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，

∴

向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到 ．

∴ 是“反比例平移函數”．

（2）；
（3）

解：如圖，

當點 在點 左側時，設線段 的中點為 ，由反比例函數中心對稱性，四邊形 為平行四邊形，

由B（9,3）得直線OB為y= x.

由D（3,0）,C(0，3)，設直線CD的解析式為y=mx+n,

則解得，

所以直線CD的解析式為y=x+3.

聯立解得

所以E（3,1）.

則F（），即（6,2）.

∵四邊形 的面積為16，

∴ =4，

∵ B (9,3)， F (6,2)，E (3，1)

是 的 “反比例平移函數”，

∴ 點B平移后與E重合，點F平移后與點O重合，點P平移后與點P1重合，

∴ = =4，

過 P1，E分別作 軸的垂線，與 分別交于 、 點.

= + - =S梯形MNE

設 ，

∴

即

∴ .

∴ (1，3)，∴點 的坐標為（7，5）.

當點 在點 右側時，同理可得點 的坐標為（15， ）.

【解析】解：（2）由A、C的坐標分別為(9，0)、(0，3)，可得B（9,3）
因為D是OA的中點，則D（,0），
由B（9,3）和D（3,0）代入y= ， 得
解得
則y= ，
由圖像y==向左平移6個單位長度，再向下平移2個單位長度得y=.
所以答案是y=；y=.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．