Question

【題目】已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；

（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；

（3）如圖③，若BA=BC=4，DA=DC=6，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】分析：（1）根據矩形性質得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可；

（2）當∠B+∠EGC=180°時，成立，證△DFG∽△DEA，得出，證△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；

（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出CM=，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-4）2+（）2=42，求出CN=，證出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°.

∴∠ADE+∠CDE=90°.

∵DE⊥CF，∴∠DCF+∠CDE=90°.

∴∠ADE＝∠DCF.

∴△ADE∽△DCF，∴．

（2）當∠B+∠EGC＝180°時，成立．

證明如下：在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠A＝∠CDM. ，∠CFM＝∠FCB．

∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠FCB+∠BEG＝180°．

∵∠AED+∠BEG＝180°，∴∠AED＝∠FCB．

∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM．

∴．即．

（3）．

過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CNA=90°，

∴四邊形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

∵在△BAD和△BCD中，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠MBC=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴，

∴，

∴CM=，

在Rt△CMB中，CM=，BM=AM-AB=x-4，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

∴（x-4）2+（）2=42，

x=0（舍去），x=，

CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，

∴．