Question

【題目】已知二次函數y=﹣ x2+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點A（2，0）和點B、與y軸相交于點C，它的頂點為M、對稱軸與x軸相交于點N．
（1）用b的代數式表示頂點M的坐標；
（2）當tan∠MAN=2時，求此二次函數的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=﹣ x2+bx+c的圖象經過點A（2，0），

∴0=﹣ ×4+2b+c

∴c=2﹣2b

∴y=﹣ x2+bx+c=﹣ x2+bx+2﹣2b

=﹣ （x﹣b）2+

∴頂點M的坐標為（b， ）

（2）解：∵tan∠MAN= =2

∴MN=2AN．

∵M（b， ）

∴N（b，0），

∴MN= （b﹣2）2

①當點B在點N左側時，AN=2﹣b，

∴ （b﹣2）2=2（2﹣b）

∴b=﹣2．不符合題意．

②當點B在點N右側時，AN=b﹣2，

∴ （b﹣2）2=2（b﹣2）

∴b=6

∴二次函數的解析式為y=﹣ x2+6x﹣10

∴點C（0，﹣10），

∵點A、B關于直線MN對稱，

∴點B（10，0）．

∵OB=OC=10，

∴BC=10，∠OBC=45°，

過點A作AH⊥BC，垂足為H，

∵AB=8，∴AH=BH=4 ，∴CH=6

∴tan∠ACB= = =

【解析】（1）由于二次函數過點A，從而可知c=2﹣2b，然后將c代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的頂點坐標．（2）根據解析式可求出MN= （b﹣2）2，由于點B的位置不確定，需要分情況討論，求出b的值，從而求出二次函數的解析式，然后求出B、C的坐標后即可求出tan∠ACB．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．