Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知A（3，0），且M（1，）是拋物線上另一點．

（1）求a、b的值；

（2）連結AC，設點P是y軸上任一點，若以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標；

（3）若點N是x軸正半軸上且在拋物線內的一動點（不與O、A重合），過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于H點．設ON=t，△ONH的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P點的坐標1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意列方程組即可得到結論；

（2）在中，當x=0時．y=﹣2，得到OC=2，如圖，設P（0，m），則PC=m+2，OA=3，根據勾股定理得到AC==，①當PA=CA時，則OP1=OC=2，②當PC=CA=時，③當PC=PA時，點P在AC的垂直平分線上，根據相似三角形的性質得到P3（0，），④當PC=CA=時，于是得到結論；

（3）過H作HG⊥OA于G，設HN交Y軸于M，根據平行線分線段成比例定理得到OM=，求得拋物線的對稱軸為直線x= =，得到OG=，求得GN=t﹣，根據相似三角形的性質得到HG=，于是得到結論．

試題解析：（1）把A（3，0），且M（1，）代入得：，解得：；

（2）在中，當x=0時．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，如圖，設P（0，m），則PC=m+2，OA=3，AC==，分三種情況：

①當PA=CA時，則OP1=OC=2，∴P1（0，2）；

②當PC=CA=時，即m+2=，∴m=﹣2，∴P2（0，﹣2）；

③當PC=PA時，點P在AC的垂直平分線上，則△AOC∽△P3EC，∴，∴P3C=，∴m=，∴P3（0，），④當PC=CA=時，m=﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣），綜上所述，P點的坐標1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；

（3）過H作HG⊥OA于G，設HN交Y軸于M，∵NH∥AC，∴，∴，∴OM=，∵拋物線的對稱軸為直線x= =，∴OG=，∴GN=t﹣，∵GH∥OC，∴△NGH∽△NOM，∴，即，∴HG=，∴S=ONGH=t（t﹣）=t2﹣t（0＜t＜3）．

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）由題意得：，解得：，b=-2，∴．

由（1）得拋物線對應的函數表達式為=，設AC與拋物線y=的對稱軸x=1交于點F，直線x=1與x軸交于E點，則F(1，)，E（1，0）．

①當0＜t＜1時，EN=1-t，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

②當1≤t≤3時，EN=t-1，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

∴ ．