Question

（2013•新余模擬）如圖：把一張給定大小的矩形卡片ABCD放在間距為10mm的橫格紙中（所有橫線互相平行），恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上，AD與l₂交于點(diǎn)E，BD與l₄交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）已知α=25°，求矩形卡片的周長(zhǎng)．（可用計(jì)算器求值，答案精確到1mm，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

Answer 1

分析：（1）利用已知條件首先證明四邊形BFDE是平行四邊形，利用全等的性質(zhì)得到BE=FD，再根據(jù)“Hl”即可證明△ABE≌△CDF；
（2）作AF⊥l₄于F，交l₂于E．在Rt△ABE中根據(jù)三角函數(shù)即可求得AB的長(zhǎng)；在直角△AFD中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AD的長(zhǎng)，從而求得長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵l₂∥l₄ BC∥AD，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE=FD，
∵AB=CD，∠BAE=∠FCD=90゜
∴△ABE≌△CDF（HL）；

（2）過A作AG⊥l₄，交l₂于H，
∵α=25°，
∴∠ABE=25°
∴sin∠ABE=

AH

AB

≈0.42，
解得：AB≈47.62，
∵∠ABE+∠AEB=90゜∠HAE+∠AEB=90゜，
∴∠HAE=25゜
∴cos∠DAG=

AG

AD

≈0.91，
解得：AD≈43.96，
∴矩形卡片ABCD的周長(zhǎng)為（47.62+43.96）×2≈183（mm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)值的計(jì)算．通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．