Question

如圖，在平面直角坐標系中，□ABCO的頂點A、C的坐標分別為A （2，0）、C （-1，2），反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象經過點B．
（1）求k的值．
（2）將?ABCO沿x軸翻折，點C落在點C′處．判斷點C′是否落在反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象上，請通過計算說明理由．
（3）在y軸上找出一點M，當線段AM與線段CM之差達到最大時，求符合條件的點M的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題,線段的性質：兩點之間線段最短,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的性質,關于x軸、y軸對稱的點的坐標

專題：綜合題

分析：（1）設BC與y軸的交點為F，過點B作BE⊥x軸于E，如圖1，易證△CFO≌△AEB，從而可得到點B的坐標，然后運用待定系數法就可解決問題；
（2）根據條件可得到點C′坐標，然后代入反比例函數的解析式進行驗證，就可解決問題；
（3）易得MC=MB，從而將MA-MC轉化為MA-MB，根據兩點之間線段最短可得：當M、B、A三點共線時，MA-MB（即MA-MC）最大，然后只需用待定系數法求出直線AB的解析式，進而求出直線AB與y軸的交點M的坐標．

解答：解：（1）設BC與y軸的交點為F，過點B作BE⊥x軸于E，如圖1．
∵?ABCO的頂點A、C的坐標分別為A（2，0）、C（-1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，

∠C=∠EAB ∠CFO=∠AEB OC=BA

，
∴△CFO≌△AEB，
∴CF=AE=1，OF=BE=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴點B的坐標為（1，2）．
∵反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象經過點B，
∴k=1×2=2，
即k的值為2；

（2）點C′在反比例函數y=

2

x

的圖象上．
理由：∵點C與點C′關于x軸對稱，點C的坐標為（-1，2），
∴點C′的坐標為（-1，-2）．
∵當x=-1時，y=

2

x

=

2

-1

=-2，
∴點C′（-1，-2）在反比例函數y=

2

x

的圖象上；

（3）∵點C（-1，2），點B（1，2），
∴點C與點B關于y軸對稱，
∴MC=MB，
∴MA-MC=MA-MB．
根據兩點之間線段最短可得：MA≤MB+AB，即MA-MB≤AB，
當M、B、A三點共線時，MA-MB（即MA-MC）最大，如圖2．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=2 2k+b=0

，
解得：

k=-2 b=4

，
∴y=-2x+4．
當x=0時，y=4，
∴點M的坐標為（0，4）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、關于x軸（或y軸）對稱的點的坐標、兩點之間線段最短等知識，把MA-MC轉化為MA-MB并利用兩點之間線段最短是解決本題的關鍵．