Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠A＝30°，將△ABC繞點C逆時針旋轉α，（0°＜α≤60°），得到△DEC，設直線DE與直線AB相交于點P.

（1）如圖1，連接PC，求證：PC平分∠EPA．

（2）如圖2，在△ABC旋轉過程中，連接BE，當△BCE的面積為9時，求α的度數．

（3）如圖3，當點P在邊AB上時，問：PE+PB是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）α＝60°；（3）PB+PE＝6．

【解析】

（1）過C點作CN⊥DE于N，CF⊥AB于F，根據旋轉前后三角形的面積不變作為相等關系得到CF＝CN，從而判定PC平分∠EPA．

（2）如圖2中，作EN⊥BC于N．利用三角形的面積公式構建方程求出sinα的值即可解決問題．

（3）如圖3中，在PA上截取PM＝PE連接CM，過C作CK⊥PA，CH⊥DE于H，連接PC．證明△PMC≌△PEC（SAS），CE＝CM，PE＝PM，推出PB＋PE＝BM，求出BM即可解決問題．

（1）過C點作CN⊥DE于N，CF⊥AB于F．

∵△ABC≌△DEC，

∴AB＝DE．

∵S△ABC＝ABCF＝S△DCE＝DECN，

∵CF＝CN，

∴PC平分∠EPA．

（2）如圖2中，作EN⊥BC于N．

∵△BCE的面積為9，BC＝EC＝6，

∴BCEN＝9，

∴BCECsinα＝9，

∴sinα＝，

∴α＝60°．

（3）如圖3中，在PA上截取PM＝PE連接CM，過C作CK⊥PA，CH⊥DE于H，連接PC．

由（1）同理可證CP平分∠EPA，

∴∠EPC＝∠APC，

∵PM＝PE，PC＝PC，

∴△PMC≌△PEC（SAS），

∴CE＝CM，PE＝PM．

又∵CE＝CB，

∴CM＝CB＝6，且CK⊥PA，

∴K為BM的中點，即BK＝BM，

在Rt△BCK中，BK＝BCcos60＝6×＝3，

∴KM＝BK＝6，

∴PB+PE＝PB+PM＝BM＝6.