Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，BE與AD相交于F．

（1）求證：BF＝AC；

（2）若BF＝3，求CE的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE＝.

【解析】

（1）由三角形的內角和定理，對頂角的性質計算出∠1=∠2，等腰直角三角形的性質得BD=AD，角邊角（或角角邊）證明△BDF≌△ADC，其性質得BF=AC；（2）等腰三角形的性質“三線合一”證明CE=AC，計算出CE的長度為．

解:如圖所示：

（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°，

又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°，

∠FEA+∠2+AFE＝180°，

∠BFD＝∠AFE，

∴∠1＝∠2，

又∠ABC＝45°，

∴BD＝AD，

在△BDF和△ADC中， ，

∴△BDF≌△ADC（ASA）

∴BF＝AC；

（2）∵BF＝3，

∴AC＝3，

又∵BE⊥AC，

∴CE＝AE＝＝．