Question

【題目】在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△CBC1的面積為3，求△ABA1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點．在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應點是點P1，直接寫出線段EP1長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）∠CC1A1=60°；（2）；（3）線段EP1長度的最大值為8，EP1長度的最小值1．

【解析】

（1）由由旋轉的性質可得：∠A1C1B＝∠ACB＝30°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面積；

（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．

（1）如圖1，依題意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，

∴∠BC1C=∠C=30°，

∴∠CC1A1=60°；

（2）如圖2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，

∴∠ABA1=∠CBC1，，

∴△A1BA∽△C1BC，∴

∵，

∴；

（3）線段EP1長度的最大值為8，EP1長度的最小值1．

過程如下：①如圖a，過點B作BD⊥AC，D為垂足．

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=6×=3，

當點P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=3﹣2=1；

②當點P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=6+2=8．

綜上所述：線段EP1長度的最大值為8，EP1長度的最小值1．