Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中不正確的是（　　）

A．AD是∠BAC的平分線          B．∠ADC=60°
C．點D在AB的中垂線上         D．S_△DAC：S_△ABD=1：3

Answer 1

D

①根據作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質來求∠ADC的度數；
③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．
解：根據作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正確；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴點D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S_△ACD=CD•AC，S_△ACB=CB•AC，∴S_△ACD：S_△ACB=1：3，∴S_△DAC：S_△ABD≠1：3，故④錯誤，
故選：D．