Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，動點P從點D出發，在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動，連接CP，作點D關于直線PC的對稱點E，設點P的運動時間為t（s）．

（1）若m=6，求當P，E，B三點在同一直線上時對應的t的值．
（2）已知m滿足：在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t，使點E到直線BC的距離等于3，求所有這樣的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠A=90°，

∴∠DCP+∠CPD=90°，

∵∠CPD+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠PCD，

∵∠A=∠CDP=90°，

∴△ABD∽△DPC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PD= ，

∴t= s時，B、E、D共線．

（2）

如圖2中，當點P與A重合時，點E在BC的下方，點E到BC的距離為3．

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．則EQ=3，CE=DC=4

易證四邊形EMCQ是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM= = = ，

∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，

∴△ADC∽△DME，

= ，

∴ = ，

∴AD=4 ，

如圖3中，當點P與A重合時，點E在BC的上方，點E到BC的距離為3．

作EQ⊥BC于Q，延長QE交AD于M．則EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM= = ，

由△DME∽△CDA，

∴ = ，

∴ = ，

∴AD= ，

綜上所述，在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t，使點E到直線BC的距離等于3，這樣的m的取值范圍 ≤m＜4 ．

【解析】（1）只要證明△ABD∽△DPC，可得 = ，由此求出PD即可解決問題；（2）分兩種情形求出AD的值即可解決問題：①如圖2中，當點P與A重合時，點E在BC的下方，點E到BC的距離為3．②如圖3中，當點P與A重合時，點E在BC的上方，點E到BC的距離為3；