Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM中點．
（1）求證：四邊形MENF是菱形；
（2）若四邊形MENF是正方形，請探索等腰梯形ABCD的高和底邊BC的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M為AD的中點，
∴AM=DM．（2分）
∴△ABM≌△DCM．（1分）
∴BM=CM．（1分）
∵E、F、N分別是MB、CM、BC的中點，
∴EN、FN分別為△BMC的中位線，
∴EN=

1

2

MC，FN=

1

2

MB，
且ME=BE=

1

2

MB，MF=FC=

1

2

MC．
∴EN=FN=FM=EM．
∴四邊形ENFM是菱形．（1分）

（2）結論：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．
理由：連接MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC．
∴MN是梯形ABCD的高．（2分）
又∵四邊形MENF是正方形，
∴∠EMF=90°，
∴△BMC為直角三角形．
又∵N是BC的中點，
∴MN=

1

2

BC．（1分）
即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．