Question

【題目】八（1）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：

（Ⅰ）如圖5-1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；

（Ⅱ）如圖5-2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD,接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離.

閱讀后1回答下列問題：

（1）方案（Ⅰ）是否可行？說明理由.

（2）方案（Ⅱ）是否可行？說明理由.

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立？ .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.

【解析】

（1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．

（1）在△ACB和△DCE中

∵AC=DC

∠ACB=∠DCE

BC=EC

∴△ACB≌△DCE(SAS)

∴AB=DE，

故方案（Ⅰ）可行；

（2）∵CB⊥AB、CD⊥DE

∴∠ABC=∠EDC=90°

在△ABC和△EDC中

∵∠ABC=∠EDC

BC=DC

∠ACB=∠ECD

∴△ABC≌△EDC (ASA)

∴ED=AB，

故方案（Ⅱ）可行；

（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．

故答案為：（1）見解析；（2）見解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.