Question

兩個邊長不定的正方形ABCD與AEFG如圖1擺放，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定角度．
（1）若點E落在BC邊上（如圖2），試探究線段CF與AC的位置關系并證明；
（2）若點E落在BC的延長線上時（如圖3），（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，加以證明．

Answer 1

（1）如圖，過E作EM⊥CB于E交AC與M，
而AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF，
∴∠AEM=∠CEF，
又∵AC是正方形的對角線，
∴∠ACE=45°，
∴CE=ME，
∵AE=EF，
∴△AEM≌△FEC，
∴∠CFE=∠CAE，
而∠ANE=∠CNF，
∴∠ACF=∠AEF=90°，
即CF⊥AC；

（2）若點E落在BC的延長線上時（如圖3），（1）中結論是否仍然成立．
過F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG是正方形，
∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH，
∴△FEH≌△EAB，
∴EH=AB，FH=BE，
即EH=AB=BC，
FH=BE=BC+CE，
∴FH=EH+CE=CH，
即∠FCH=45°，而∠ACB=45°，
∴AC⊥CF．