Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．

（1）求直線CD的解析式；

（2）求拋物線的解析式；

（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1；（2）y=x2+2x+1；（3）證明見解析；（4）存在．為.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出直線解析式；

（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（3）關鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；

（4）如圖所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．利用軸對稱的性質、兩點之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最小．如圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．

（1）C（0，1），D（1，0）

∴直線CD的解析式為；

（2）設拋物線解析式為y=a（x－2）2+3，

易得y=（x－2）2+3=x2+2x+1

（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，

對稱軸x=2與CE交于點M，M（2，1）

易知△QMC與△QME是等腰直角三角形

∴△ CQE也是等腰直角三角形

∴△CEQ∽△CDO

（4）存在。

如圖作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱性得：

PC=PC′ CF=C″F

C，C′關于直線QE對稱

C′（4，5）

又C″（－1，0） C′C″=

∴△PCF的周長最小值是