Question

【題目】如圖1，拋物線y= 2+b+c與x軸交于A（-1,0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若M是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，N是拋物線的頂點，求MN的長；

（3）設點P是（1）中的拋物線的一個動點，是否存在滿足S△PAB=8的點P？如存在請求出P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1 備用圖

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1；（3）當P點的坐標分別為（1+2，4）、（1﹣2，4）、（1，﹣4）時，S△PAB=8．

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；

（2）結合拋物線的解析式得到點C、N的坐標，利用B、C的坐標可以求得直線BC的解析式，由一次函數圖象上點的坐標特征和點的坐標與圖形的性質進行解答即可；

（3）根據P點在拋物線上設出P點，然后再由S△PAB=8，從而求出P點坐標．

試題分析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解之得，

∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3，則C（0，﹣3）．

又∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴N（1，﹣4）．

設直線BC的解析式為y=kx﹣3（k≠0）．

把B（3，0）代入，得0=3k﹣3，解得k=1，

則該直線解析式為：y=x﹣3．

故當x=1時，y=﹣2，即M（1，﹣2），

∴MN=|﹣3|﹣|﹣2|=1．即MN=1；

（3）設點P的坐標為（x，y），由題意，得S△PAB=×4×|y|=8，

∴|y|=4， y=±4．

當y=4時，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=1+2，x2=1﹣2，

當y=﹣4時，x2﹣2x﹣3=﹣4，

∴x=1，

∴當P點的坐標分別為（1+2，4）、（1﹣2，4）、（1，﹣4）時，S△PAB=8．