Question

【題目】已知拋物線L：y＝mx2+nx-6經過點（-2，2），與x軸相交于A（-3，0）和B兩點，并與y軸相交于點C．拋物線L′與L關于坐標原點對稱，點A，B在L′上的對應點分別為A′和B′．

（1）求拋物線L的函數表達式．

（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PA′A的面積等于△CB′B的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x2－8x－6；（2）存在，點P的坐標為（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數關系式．

（2）由二次函數圖象上點的坐標特征和關于原點對稱的點的坐標的性質求得A'（3，0），B'（1，0），則AA'=6，BB'=2，OC=6，設L'上的點P在L上的對應點為P'，P'的縱坐標為n，由對稱性，可得 S△PA'A=S△P'A'A要使 S△P'A'A=S△CB'B，由此列出關于n的方程，通過解方程求得n的值．易得P'的坐標為（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），再一次利用由對稱性，可得P的坐標．

（1）解：將（-2，2），（-3，0）代入y＝mx2+nx-6，得

，解得，故拋物線L的函數表達式為y＝－2x2－8x－6．

（2）解：存在．理由如下：

在拋物線L中，令x＝0，則y＝－6，

∴C（0，－6）．

令y＝0，則－2x2－8x－6＝0，解得x＝－1或x＝－3，

∴A（－3，0），B（-1，0）．

∵拋物線L′與L關于坐標原點對稱，

∴A′（3，0），B′（1，0），

∴AA′＝6，BB′＝2，OC＝6．

設拋物線L′上的點P在拋物線L上的對應點為P′，點P′的縱坐標為s，

由對稱性，可得S△PA′A＝S△P′A′A．

要使S△P′A′A＝S△CB′B，則AA′·|s|＝B′B·OC，

∴|s|＝2，即s＝±2．

令y＝2，則－2x2－8x－6＝2，解得x＝－2；

令y＝－2，則－2x2－8x－6＝－2，解得x＝－2＋或x＝－2－．

∴點P′的坐標為（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），

由對稱性可得點P的坐標為（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）．