Question

【題目】在△ABC中，AC＝5，AB＝7，BC＝4，點D在邊AB上，且AD＝3，動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，以PD為邊向上作正方形PDMN，設點P運動的時間為t，正方形PDMN與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）用含有t的代數式表示線段PD的長

（2）當點N落在△ABC的邊上時，求t的值

（3）求S與t的函數關系式

（4）當點P在線段AD上運動時，作點N關于CD的對稱點N′，當N′與△ABC的某一個頂點所連的直線平分△ABC的面積時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜t≤3時，PD＝3﹣t；當3＜t≤7時，PD＝t﹣3；（2）滿足條件的t的值為s或5s；（3）；（4）滿足條件的t的值為1s或s或s．

【解析】

（1）分兩種情況：當0＜t≤3時，PD＝3﹣t；當3＜t≤7時，PD＝t﹣3；

（2）根據（1）的兩種情況，運用平行分線段成比例定理即可求得t的值；

（3）正方形PDMN與△ABC重疊部分的形狀依次為五邊形、正方形、五邊形，

可分三段分別解答：

①如圖4中，當0＜t≤ 時，重疊部分是五邊形EFPDM；

②如圖5或6中，當＜t≤5時，重疊部分是正方形PDMN；

③如圖7中，當5＜t≤7時，重疊部分是五邊形EFPDM；

運用平行分線段成比例定理，分別求S與t的函數關系式；

（4）根據題意分析，可知點N關于CD的對稱點N′落在AC、BC、AB三邊的中線上，

分三種情況,畫出圖形，利用平行線分線段成比例定理構建方程即可解決問題．

（1）如圖1中，作CD′⊥AB于D．

設 ，則

由勾股定理得： ； ；

解得： ，即

當0＜t≤3時，PD＝3﹣t．

當3＜t≤7時，PD＝t﹣3．

（2）①如圖2中，當點N在AC上時，

∵MN∥AD，

解得.

②如圖3中，當點N在BC上時，

∵MN∥BD，

解得t＝5

綜上所述，滿足條件的t的值為s或5s．

（3）正方形PDMN與△ABC重疊部分的面積依次為五邊形、正方形、五邊形，所以分三種情況討論：

①如圖4中，當0＜t≤時，重疊部分是五邊形EFPDM，

s＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣ （3﹣t﹣ t）2＝ ；

②如圖5或6中，當 ＜t≤5時，重疊部分是正方形PDMN，s＝t2﹣6t+9

③如圖7中，當5＜t≤7時，重疊部分是五邊形EFPDM，s＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t﹣3）2﹣ [（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．

綜上所述，．

（4）N關于CD的對稱點N′與△ABC的某一個頂點所連的直線平分△ABC的面積,

則N′落在△ABC的中線上，所以分三種情況討論：

如圖8中，當點N′落在中線AE上時，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵JN′∥EK，

,

則有 ，

解得t＝1．

如圖9中，當點N′落在中線BG上時，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵N′J∥GK，

,

解得

如圖10中，當點N′落在中線CF上時，

∵MN′∥DF，

,

，

解得

綜上所述，滿足條件的t的值為1s或 s或 s．