Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD垂直于過點C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E．延長DA交⊙O于點F，連接FC，FC與AB相交于點G，連接OC．

（1）求證：CD=CE；

（2）若AE=GE，求證：△CEO是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

（1）連接AC，根據切線的性質和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根據AAS證明△CDA≌△CEA（AAS），可得結論；
（2）介紹兩種證法：
證法一：根據△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三線合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得結論；
證法二：設∠F=x，則∠AOC=2∠F=2x，根據平角的定義得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，則3x+3x+2x=180，即得出結論．

證明：（1）連接AC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴∠DCO=∠D=90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵CE⊥AB，

∴∠CEA=90°，

在△CDA和△CEA中，

∵ ，

∴△CDA≌△CEA（AAS），

∴CD=CE；

（2）證法一：連接BC，

∵△CDA≌△CEA，

∴∠DCA=∠ECA，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠ECA=∠ECG，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠ACE=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，

∵∠D=90°，

∴∠DCF+∠F=90°，

∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，

∴∠AOC=2∠F=45°，

∴△CEO是等腰直角三角形；

證法二：設∠F=x，則∠AOC=2∠F=2x，

∵AD∥OC，

∴∠OAF=∠AOC=2x，

∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠EAC=∠CGA，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠EAC=∠CGA，

∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，

∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，

∴3x+3x+2x=180，

x=22.5°，

∴∠AOC=2x=45°，

∴△CEO是等腰直角三角形．