Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（20，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF．

（1）當∠AOB=30°時，求弧OB的長度；

（2）當DE=16時，求線段EF的長；

（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此

時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）6或24;（3）E點為

【解析】試題分析: （1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=10，根據弧長公式求解；

（2）連接OD，由垂直平分線的性質得OD=OA=20，又DE=16，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當交點E在點C的右側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標．

試題解析: (1)連接BC,

∵A(20,0)，∴OA=20，CA=10，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的長==；

(2)①若D在第一象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑,

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=20，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AOOE=2012=8，

由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴,即，

∴EF=6；

②若D在第二象限，

連接OD,

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE==，

∴AE=AO+OE=20+12=32，

由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA

∴,即，

∴EF=24；

∴EF=6或24；

(3)設OE=x，

①當交點E在O，C之間時，由以點E. C.F為頂點的三角

形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC

中點,即OE=5，

∴E (5,0)；

當∠ECF=∠OAB時，有CE=10x，AE=20x，

∴CF∥AB,有CF=AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴,即,解得：x=，

∴E (,0)；

②當交點E在點C的右側時，

∵∠ECF>∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴，

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴CFAD=CEAE，

而AD=2BE，

∴，

即,解得x =,x =<0(舍去)，

∴E (,0)；

③當交點E在點O的左側時，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

∴要使△ECF與△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

連接BE,得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴，

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90，

∴△CEF∽△AED，

∴，

而AD=2BE，

∴，

∴，

解得x=,x= (舍去)，

∵點E在x軸負半軸上，

∴ (,0)，

綜上所述：存在以點E. C.F為頂點的三角形與△AOB相似，

此時點E坐標為：E點為.

點睛: 解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.