Question

【題目】綜合題
（1）【結論再現】如圖①，在 中， ， ，則 ， ．

（2）【問題解決】
如圖②，四邊形 是一張邊長為 的正方形紙片， 、 分別為 、 的中點，沿過點 的折痕將紙片翻折，使點 落在 上的點 處，折痕交 于點 ，求 的度數和 的長．

（3）【問題探究】
如圖③，點 是等腰 斜邊 所在直線上一點，且滿足 ，求 的大小和此時 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ,
（2）解：∵ 折疊后得到 ，

∴ ，且 ，

∴在 中， ，sin∠FA′D= = ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

又∵在 中， ，那么 ，

∴ ，

∴ ，

則 ，

那么

（3）解：如圖，

①當 在 邊上時，將線段 繞點 順時針方向旋轉 得到線段 ，連接 ，

與（1）同理可證 ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ,

∴四邊形 ． 、 ． 四點共圓，

∴ ，

∴ ．

②當 在 延長線上時，將線段 繞點 逆時針方向旋轉 得到線段 ，連接 ．

同理可證： ，

∵ ,∴四邊形 ． ． 、 四點共圓，∴ ，

∴ ，

綜上， 的度數為 或 ．

比值計算如下：

過點 作 ，如圖，

則在 中， ， ，∴ ， ，

在 中， ，

設 ， ，∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值，即可求出∠B的度數及的值。
（2）根據折疊的性質先求出∠FAD、∠EA′G的度數，再利用勾股定理在Rt△A′FD中求出A′F的長，即可得出A′E的長，再利用直角三角形的性質得出A′G的長，然后求出EG的長，從而得到BG的長。
（3）根據題意畫出圖形，分兩種情況討論：①當 D 在 B C 邊上時，將線段 A D 1 繞點 A 順時針方向旋轉 90 ° 得到線段 AE ，連接 BE ，先證明△ABE ≌ △ACD1 ，根據全等三角形的性質及特殊角的三角函數值求出 ∠BD1E=30°，得到四邊形 A ． D1 、 B ． E 四點共圓，然后根據圓周角定理即可求出結果；②當 D 在 B C 延長線上時，將線段 A D 繞點 A 逆時針方向旋轉 90 ° 得到線段 A F ，連接 C F ．同①的方法類似求出結果即可，根據銳角三角函數的定義得出AD=,再求出ED的長，然后根據AD=x，即可求出結果。