Question

【題目】已知△ABC中，∠C是其最小的內角，如果過點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC關于點B的奇異分割線．

例如：圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，過頂點B的一條直線BD交AC于點D，且∠DBC＝20°，則直線BD是△ABC的關于點B的奇異分割線．

（1）如圖2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．請過頂點B在圖2中畫出△ABC關于點B的奇異分割線BD交AC于點D，此時∠ADB＝　 　度；

（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在關于點B的奇異分割線，畫出相應的△ABC及分割線BD，并直接寫出此時∠ABC的度數（要求在圖中標注∠A、∠ABD及∠DBC的度數）．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）∠ABC的值為60°或120°或105°

【解析】

（1）首先了解奇異分割線．的定義，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；

（2）設BD為△ABC的奇異分割線．，分以下兩種情況．第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分別進行分析．

解：（1）如圖所示：直線BD即為所求，此時∠ADB＝90°﹣∠A＝40°．

故答案為40．

（2）設BD為△ABC的奇異分割線，分以下兩種情況．

第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必為底角，∴∠DBC＝∠C＝30°．

當∠A＝90°時，△ABC存在奇異分割線，此時∠ABC＝60°．

當∠ABD＝90°時，△ABC存在奇異分割線，此時∠ABC＝120°

當∠ADB＝90°時，不符合題意．

第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

當∠DBC＝90°時，此時BD＝AD，則△ABC存在奇異分割線，此時∠ABC＝120°．

當∠BDC＝90°時，此時BD＝AD，則△ABC存在奇異分割線，此時∠ABC＝105°

綜上所述，滿足條件的∠ABC的值為60°或120°或105°