Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC．連結DE，DE＝．
（1）求證：；
（2）求EM的長；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

（1）證明：連接AC、EB
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE
∴△AMC∽△EMB
∴
∴--------------------------------------------------------3分
（2）解：∵DC是⊙O的直徑
∴∠DEC=90°
∴
∵DE＝，CD=8，且EC為正數
∴EC=7
∵M為OB的中點
∴BM=2，AM=6
∵，且EM＞MC
∴EM=4------------------------------------------------------------------------------7分
（3）解：過點E作EF⊥AB，垂足為點F
∵OE=4，EM=4
∴OE=EM
∴OF=FM=1
∴EF=
∴sin∠EOB=---------------------------------------------------------------------10分

（1）連接A、C，E、B點，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結論，根據圓周角定理可推出它們的對應角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根據圓周角定理，結合勾股定理，可以推出EC的長度，根據已知條件推出AM、BM的長度，然后結合（1）的結論，很容易就可求出EM的長度；
（3）過點E作EF⊥AB，垂足為點F，通過作輔助線，解直角三角形，結合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長度，根據銳角三角函數的定義，便可求得sin∠EOB的值．