Question

如圖，為⊙的直徑，，交于點，，．

(1)求證：；
(2)求的長；
(3)延長到，使得，連接，試判斷直 線與⊙的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：(1)證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，                      …………1分
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，                      …………2分
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB，                  …………3分
(2) ∵△ABE∽△ADB，
∴，                            …………4分
∴AB²=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12     …………5分
∴AB=．…………6分                  
(3) 直線FA與⊙O相切，理由如下：
連接OA，  …………7分

∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴，
BF=BO=，…………8分
∵AB=，
∴BF=BO=AB，可證∠OAF=90°，
∴直線FA與⊙O相切．…………10分

（1）根據AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代換可得∠ABC=∠D然后即可證明△ABE∽△ADB．
（2）根據△ABE∽△ADB，利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可求得AB的長．
（3）連接OA，根據BD為⊙O的直徑可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求證∠OAF=90°即可