Question

如圖1，已知雙曲線y=

a

x

(a＞0)與直線y=kx交于A，C兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：

（1）若點A的坐標為（4，2），則點C的坐標為

（-4，-2）

；若點A的橫坐標為m，則點C的坐標可表示為

（-m，-km）或（-m，-

a

m

）

；
（2）如圖2，過原點O作另一條直線l交雙曲線y=

a

x

于B，D兩點，點B在第一象限．設點A，B的橫坐標分別為m，n．
①四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，直接寫出m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．
②四邊形ABCD可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數及正比例函數的圖象均關于原點對稱可知，A、C兩點關于原點對稱，故可得出C點坐標；把A點的橫坐標代入一次函數或反比例函數解析式可得出其縱坐標，再根據A、C兩點關于原點對稱即可得出C點坐標；
（2）①先根據A、C兩點B、D兩點均關于原點對稱，可知OB=OD，OA=OC，故四邊形ABCD是平行四邊形，當OA=OB是四邊形ABCD是矩形，此時mn=a；
②若AC⊥BD則四邊形ABCD是正方形，此時點A、B在坐標軸上，由于點A，B不可能達到坐標軸故不可能是正方形．

解答：解：（1）∵反比例函數及正比例函數的圖象均關于原點對稱，
∴A、C兩點關于原點對稱，
∵A（4，2），
∴C（-4，-2）；
∵點A的橫坐標為m，
∴A（m，km）或（m，

a

m

），
∴C（-m，-km）或（-m，-

a

m

）．
故答案為：（-4，-2）； （-m，-km）或（-m，-

a

m

）；

（2）①四邊形ABCD可能是矩形．
∵點A與點C，點B與點D均關于原點對稱，
∴OB=OD，OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
當OA=OB時四邊形ABCD是矩形，此時mn=a                  
∴m，n應滿足的條件是m•n=a；
②四邊形ABCD不可能是正方形．                  
理由：當AC⊥BD時四邊形ABCD是正方形，此時點A、B在坐標軸上，由于點A，B不可能達到坐標軸故不可能是正方形，即∠BOA≠90°．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數及正比例函數的圖象均關于原點對稱的特點是解答此題的關鍵．