Question

（2012•蘇州模擬）如圖1，已知雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）與直線y=k₂x交于A、B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A坐標為（4，2），則B點坐標為

（-4，-2）

．若點A的橫坐標為m，則B點坐標為

（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）

（用含m和k₁或k₂的式子表示）；
（2）如圖2，過原點作另一條直線l，交雙曲線y=

k1

x

（k₁＞0）于P、Q兩點，說明四邊形APBQ是平行四邊形；
（3）設點A、P的橫坐標分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m、n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象性質可知，點A、B關于坐標原點對稱，由此可以求出A可求B坐標；
（2）根據勾股定理或對稱性易知OA=OB，OP=OQ因此四邊形APBQ一定是平行四邊形；
（3）根據矩形的性質和正方形的性質可以推出它們的可能性．

解答：解：（1）∵雙曲線和直線y=k₂x都是關于原點的中心對稱圖形，它們交于A，B兩點，
∴B的坐標為（-4，-2），
（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）；
故答案為：（-4，-2）；（-m，-k₂m）或（-m，-

k1

m

）．


（2）由勾股定理OA=

m2+(k 2m)2

，
OB=

(-m)2+(-k 2m)2

=

m2+(k 2m)2

，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四邊形APBQ一定是平行四邊形；

（3）設點A、P橫坐標分別為：m，n，
由（1）可知A點坐標為（m，

k1

m

），點P坐標為：（n，

k1

n

），
要OP=OA，
只要m²+

k 2 1

m2

=n²+

k 2 1

n2

，
可得mn=k₁（∵m、n、k₁均為正數），
∴當mn=k₁時，OP=OA，
此時PQ=AB，四邊形APBQ是矩形；
四邊形APBQ不可能是正方形，
理由：點A，P不可能達到坐標軸，即∠POA≠90°．

點評：此題考查了反比例函數、一次函數的圖形和性質，勾股定理，平行四邊形的性質，矩形和正方形的性質，熟知反比例函數及正比例函數的圖象均關于原點對稱的特點是解答此題的關鍵．