Question

如圖1，已知雙曲線y=

k

x

(k＞0)與直線y=k′x交于A，B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A的坐標為（4，2），則點B的坐標為

 

；若點A的橫坐標為m，則點B的坐標可表示為

 

；
（2）如圖2，過原點O作另一條直線l，交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點，點P在第一象限．
①說明四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②設點A，P的橫坐標分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象性質可知，點A、B關于坐標原點對稱，由此可以求出A可求B坐標；
（2）①根據勾股定理或對稱性易知OA=OB，OP=OQ因此四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②根據矩形的性質和正方形的性質可以推出它們的可能性．

解答：解：（1）∵雙曲線和直線y=k'x都是關于原點的中心對稱圖形，它們交于A，B兩點，
∴B的坐標為（-4，-2），
（-m，-k'm）或（-m，-

k

m

）；

（2）①由勾股定理OA=

m2+(k′m)2

，
OB=

(-m)2+(-k′m)2

=

m2+(k′m)2

，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②四邊形APBQ可能是矩形，
此時m，n應滿足的條件是mn=k；
四邊形APBQ不可能是正方形（1分）
理由：點A，P不可能達到坐標軸，即∠POA≠90°．

點評：此題難度中等，它考查了反比例函數、一次函數的圖形和性質，勾股定理，平行四邊形的性質，矩形和正方形的性質，綜合性比較強．