Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線1與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；

（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，設P點的橫坐標為m．

①求線段PE長度的最大值；

②點P將線段AC分割成長、短兩條線段PA、PC，如果較長線段與AC之比等于，則稱P為線段AC的“黃金分割點”，請直接寫出使得P為線段AC黃金分割點的m的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），y=﹣x﹣1；（2）①當x=時，PE的最大值為；②P為線段AC黃金分割點的m的值是或．

【解析】

（1）令y=0得到關于x的方程，解方程可求得點A和點B的橫坐標，將x=2代入拋物線的解析式求得對應的y值可求得點C的縱坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標代入求得k和b的值即可；

（2）①設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），然后得到PE與x的函數關系式，利用二次函數的性質可求得PE的最大值；

②根據黃金分割點，可得答案．

解（1）當y=0時，解得：x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標代入得：，解得：，∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1．

（2）①設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P點在E點的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當x=時，PE的最大值為．

②設P（m，﹣m﹣1）（﹣1＜m＜2），A（﹣1，0），C（2，﹣3）．

當=時，=，解得：m=或m=＜－1（舍去）；

當=時，=，解得：m=或m=（舍去）．

綜上所述：P為線段AC黃金分割點的m的值是或．