Question

已知：拋物線y=x²+2x-3與x軸的兩個交點分別為A、B，點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，頂點為D，直線y=kx+b經(jīng)過點A、C；
（1）求點D的坐標和直線AC的解析式；
（2）點P為拋物線上的一個動點，求使得△ACP的面積與△ACD的面積相等的點P的坐標．

Answer 1

（1）由拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x-3=（x+1）²-4，
得D（-1，-4）；（1分）
點A、C的坐標分別是A（-3，0），C（0，-3），
∵直線y=kx+b經(jīng)過A、C兩點，
∴

b=-3 -3k-3=0

，
∴

b=-3 k=-1

；
∴直線AC的解析式為y=-x-3；（2分）

（2）①過點D作與直線y=-x-3平行的直線，交拋物線于點P；
則S_△ACP=S_△ACD；
設(shè)平移后的直線的解析式為y=-x+t，
∵點D的坐標為（-1，-4）；
∴t=-5；
∴P（m，-m-5），
∴-m-5=m²+2m-3，
解得m=-1（舍去）或m=-2；
∴P（-2，-3）；（4分）
②直線DP：y=-x-5與y軸的交點坐標為（0，-5），
則直線DP關(guān)于直線y=-x-3對稱的直線l的解析式為y=-x-1，l交拋物線于P′，設(shè)P′（m′，-m′-1）；
由于點P’在拋物線y=x²+2x-3上，
∴-m′-1=m′²+2m′-3；
解得m′=

-3+ 17

2

或m′=

-3- 17

2

；（5分）
∴P′（

-3+ 17

2

，

1- 17

2

）或P′（

-3- 17

2

，

1+ 17

2

）；（7分）
∴所求點P的坐標分別是（-2，-3），（

-3+ 17

2

，

1- 17

2

），（

-3- 17

2

，

1+ 17

2

）．