Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，點P從點A出發，沿AD以每秒1個單位的速度向終點D運動．連結PO并延長交BC于點Q．設點P的運動時間為t秒．

（1）求BQ的長，（用含t的代數式表示）

（2）當四邊形ABQP是平行四邊形時，求t的值

（3）當點O在線段AP的垂直平分線上時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）秒;（3）t＝.

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質可證△APO≌△CQO，則AP＝CQ，再利用即可得出答案；

（2）由平行四邊形性質可知AP∥BQ，當AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，建立一個關于t的方程，解方程即可求出t的值；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的長度，進而求出AO的長度，然后利用的面積求出EF的長度，進而求出OE的長度，而AE可以用含t的代數式表示出來，最后在中利用勾股定理即可求值.

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，AD∥BC，

∴∠PAO＝∠QCO，

∵∠AOP＝∠COQ，

∴△APO≌△CQO（ASA），

∴AP＝CQ＝t，

∵BC＝5，

∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；

（2）∵AP∥BQ，

當AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，

即t＝5﹣t，

t＝ ，

∴當t為秒時，四邊形ABQP是平行四邊形；

（3）t＝ ，

如圖，

在Rt△ABC中，

∵AB＝3，BC＝5，

∴AC=

∴AO＝CO＝AC＝2，

∴3×4＝5×EF，

∴，

∴，

∵OE是AP的垂直平分線，

∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，

由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，

或（舍去）

∴當秒時，點O在線段AP的垂直平分線上．