Question

【題目】閱讀下列兩則材料，回答問題，材料一：定義直線y＝ax+b與直線y＝bx+a互為“互助直線”，例如，直線y＝x+4與直y＝4x+1互為“互助直線”；材料二：對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2兩點間的直角距離d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）兩點間的直角距離為d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：設P0（x0，y0）為一個定點，Q（x，y）是直線y＝ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y＝ax+b的直角距離．

（1）計算S（﹣1，6），T（﹣2，3）兩點間的直角距離d（S，T）＝　 　；

（2）直線y＝﹣2x+3上的一點H（a，b）又是它的“互助直線”上的點，求點H的坐標．

（3）對于直線y＝ax+b上的任意一點M（m，n），都有點N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直線”上，試求點L（5，﹣1）到直線y＝ax+b的直角距離．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）點H（1，1）；（3）5

【解析】

（1）根據兩點間的直角距離公式即可得；

（2）先根據“互助直線”的定義得出互助直線的解析式，再聯立求解即可得；

（3）先根據“互助直線”的定義得出互助直線的解析式，再根據點M、N的坐標可得一個關于a、b的方程組，依據“對于任意一點M都成立”可求出a、b的值，從而可得直線的解析式，然后根據點到直線的直角距離的定義即可得．

（1）由兩點間的直角距離公式得：

故答案為：4；

（2）直線的“互助直線”為

聯立，解得

則點H的坐標為；

（3）直線的“互助直線”為

由題意得：

解得

對于任意一點，上述等式都成立

則，解得

因此，直線的解析式為

設點是直線的動點

則

當時，

當時，

當時，

綜上，的最小值為

則點到直線的直角距離為．