Question

【題目】如圖1，中，于，且．

（1）試說明是等腰三角形；

（2）已知，如圖2，動點從點出發以每秒的速度沿線段向點運動，同時動點從點出發以相同速度沿線段向點運動，設點運動的時間為（秒）．

①若的邊于平行，求的值；

②若點是邊的中點，問在點運動的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①值為5或6；②存在，符合要求的值為9或10或．

【解析】

（1）根據比例設，，，可得，然后根據勾股定理可得，從而證出結論；

（2）根據三角形的面積即可求出BD、AD、CD、AB和AC，然后根據題意可知，，

①根據平行的情況分類討論，根據平行線的性質、等角對等邊證出相等的邊，最后列方程即可求出結論；

②根據點M的位置和等腰三角形腰的情況分類討論，分別用含t的式子表示出各個邊，利用等腰三角形的腰相等列出方程即可求出結論．

（1）證明：設，，，

則，

在中，，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）解：由（1）知，，

∴，而，

∴，

則，，，

由運動知，，，

①當時，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠ACB

∵

∴∠B=∠ACB

∴∠AMN=∠ANM

∴，

即，

∴；

當時，

∴∠ADN=∠B，∠AND=∠ACB

∵

∴∠B=∠ACB

∴∠ADN=∠AND

∴，

∴，

∵D、M均在AB上，故不存在DM∥BC

綜上：若的邊與平行時，值為5或6．

②存在，理由：

Ⅰ．當點在上，即時，為鈍角三角形，；

Ⅱ．當時，點運動到，不構成三角形

Ⅲ．當點在上，即時，為等腰三角形，有3種可能．

∵點是邊的中點，

∴

當，則，

∴；

當，則點運動到點，

∴；

當，

如圖，過點作垂直于，

∵，

∴，

在中，；

∵，，

∴

在中，，

∴．

綜上所述，符合要求的值為9或10或．