Question

設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d．
（1）如圖①，當r＜a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有

 

個；
（2）如圖②，當r=a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有

 

個；
（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，試說明r=

5

4

a；
（4）就r＞a的情形，請你仿照“當…時，⊙O與正方形的公共點個數可能有

 

個”的形式，至少給出一個關于“⊙O與正方形的公共點個數”的正確結論．
（注：第（4）小題若多給出一個正確結論，則可多得2分，但本大題得分總和不得超過12分）．

Answer 1

分析：（1）、（2）可根據圓心和正方形的中心之間的距離，和正方形的邊長與圓的半徑的比較得出兩個圖形的位置關系；
（3）連接圓心與圓上的正方形的頂點，在所構成的直角三角形中，用r表示出圓心到弦的距離，然后根據勾股定理求出r的值；
（4）可先判斷正方形與圓的位置關系，然后再判斷公共點的個數．

解答：解：（1）

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有0，1，2個；

（2）

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0，1，2，4個；

（3）連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF²+FC²=OC²，
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r，
∴r=

5

4

a．

（4）當a＜r＜

5

4

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4、6、7、8個；
②當r=

5

4

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、5、8個；
③當

5

4

a＜r＜

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4、6、8個；
④當r=

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4個；
⑤當r＞

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4個．

點評：本題是一道較為新穎的幾何壓軸題．考查圓、相似、正方形等幾何知識，綜合性較強，有一定的難度，試題的區分度把握非常得當，是一道很不錯的壓軸題．