Question

設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對(duì)邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為d．
（1）如圖①，當(dāng)r＜a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間的關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（2）如圖②，當(dāng)r=a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間的關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當(dāng)r=a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（3）如圖③，當(dāng)⊙O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說明r=

5

4

a．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)r＜a時(shí)，通過⊙O向左平移，得到⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（2）當(dāng)r=a時(shí)，正方形固定，把⊙O向左平移得到⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）根據(jù)⊙O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)，在圖③構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理計(jì)算得到r與a的關(guān)系．

解答：解：（1）

d、a、r之間的關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有0、1、2個(gè)；

（2）

d、a、r之間的關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當(dāng)r=a，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4個(gè)；
（3）如圖所示，連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．

在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF²+FC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r^.2
4a²-4ar+r²+a²=r²
5a²=4ar
5a=4r
∴r=

5

4

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，（1）根據(jù)r＜a，當(dāng)正方形固定，把⊙O向左平移時(shí)，得到圓與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）當(dāng)r=a時(shí)，把正方形固定，⊙O向左平移，得到圓與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3）利用勾股定理計(jì)算求出r與a的關(guān)系．