Question

設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d．

（1）如圖①，當r＜a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有

 

個；
（2）如圖②，當r=a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有

 

個；
（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，試說明r=

5

4

a．

Answer 1

分析：（1）當r＜a時，⊙A的直徑小于正方形的邊長，⊙A與正方形中垂直于直線l的一邊相離、相切、相交，三種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數；
（2）當r=a時，⊙O的直徑等于正方形的邊長，此時會出現⊙A與正方形相離，與正方形一邊相切，相交，與正方形四邊相切，四種情況，故可確定⊙O與正方形的交點個數；
（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，連接OC，用a、r表示△COF的各邊長，在Rt△OCF中，由勾股定理求a、r的關系．

解答：
解：（1）如圖①

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有0、1、2個；

（2）如圖②

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當r=a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4個；

（3）如圖③所示，連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF²+FC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r；

（4）①當a＜r＜

5

4

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4、6、7、8個；
②當r=

5

4

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、5、8個；
③當

5

4

a＜r＜

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4、6、8個；
④當r=

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4個；
⑤當r＞

2

a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、3、4個．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系．關鍵是根據直線與圓的三種位置關系，r與a的大小關系，分類討論．