Question

如圖1，拋物線y=－x²＋bx＋c的頂點為Q，與x軸交于A（－1，0）、B(5，0)兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
(2)在該拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最小，請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標；
(3)如圖2，若點D是第一象限拋物線上的一個動點，過D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個同學說：“在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與x軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D－E－O的長度最長”，這個同學的說法正確嗎？請說明理由．
②若DE與直線BC交于點F．試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

（1）y-（x-2）²+9，Q（2，9）；（2）（2，3）；（3）

試題分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中即可確定b、c的值，然后配方后即可確定其頂點坐標；
（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．求得C點的坐標后然后確定直線BC的解析式，最后求得其與x=2與直線BC的交點坐標即為點P的坐標；
（3）①設D（t，-t²+4t+5），設折線D-E-O的長度為L，求得L的最大值后與當點D與Q重合時L=9+2=11＜相比較即可得到答案；
②假設四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．
（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x2+bx+c中，得
，解得
∴y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）．

（2）如圖1，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．
∵AC長為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小．
∵點A關于對稱軸x=2的對稱點是點B（5，0），拋物線y=-x2+4x+5與y軸交點C的坐標為（0，5）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小．
設直線BC的解析式為y=kx+5，將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴y=-x+5，
∴當x=2時，y=3，
∴點P的坐標為（2，3）．
（3）①這個同學的說法不正確．
∵設D（t，-t²+4t+5），設折線D-E-O的長度為L，則L=?t²+4t+5+t=?t²+5t+5=?(t?)²+，
∵a＜0，
∴當t=時，L最大值=．
而當點D與Q重合時，L=9+2=11＜，
∴該該同學的說法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖2，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，
∴，即OE=BE=2.5．
當xF=2.5時，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當xD=2.5時，yD=?(2.5?2)²+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．