Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，DA、DC分別是⊙O的切線，點A、C是切點，連接DO交弧AC于點E，連接AE、CE．

（1）如圖1，求證：EA=EC；
（2）如圖2，延長DO交⊙O于點F，連接CF、BE交于點G，求證：∠CGE=2∠F；
（3）如圖3，在（2）的條件下，DE=AD，EF=2 ， 求線段CG的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）如圖1，

連接OC，
∵DA、DC分別是⊙O的切線，點A、C是切點，OA、OC是半徑，
∴OA⊥DA，OC⊥DC，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△ODA和Rt△ODC中，
，
∴Rt△ODA≌Rt△ODC，
∴∠EOA=∠EOC，
∴AE=CE；
（2）證明：如圖2，

連接OC，BE，由（1）證得∠AOE=∠COE，
又∵∠B=∠AOE，∠F=∠COE，
∴∠B=∠F，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠F=∠OEG，
∵∠EGC是△EGF的外角，
∴∠EGC=∠F+∠GEF=2∠F，
即∠EGC=2∠F；
（3）解：∵EF是⊙O的直徑，
∴∠ECF=90°
∵EF=2，
∴OA=OE=EF=，
∵DE=AD，設DE=m，
∴AD=2m，
在Rt△DAO中，OA2+DA2=OD2 ，
∴，
解得m1=0（舍去），m2=，
∴DA=，DO=，
∴在Rt△ADO中，tan∠DOA==，cos∠DOA==，
∵∠EOA=2∠B，∠EGC=2∠F，
∴∠EGC=∠EOA，
∴tan∠EGC=，
如圖3，

過點E作EH⊥AB于點H，
在Rt△EOH中OH=OEcos∠EOH=X=，
∴EH=AH=AO﹣OH=-=，
在Rt△EHA中，EA2=AH2+EH2 ，
∴EA=2，
∵AE=CE，
∴EC=2，
在Rt△ECG中，tan∠EGC===，
∴GC=．
【解析】（1）連接OC，根據切線的性質得到OA⊥DA，OC⊥DC，由垂直的定義得到∠DAO=∠DCO=90°，推出Rt△ODA≌Rt△ODC，根據全等三角形的性質得到∠EOA=∠EOC，由等腰三角形的判定得到結論；
（2）連接OC，BE，由（1）證得∠AOE=∠COE，根據圓周角定理得到∠B=∠AOE，∠F=∠COE，得到∠B=∠F，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠OEB，于是得到∠F=∠OEG，根據三角形的外角的性質即可得到結論；
（3）由圓周角定理得到∠ECF=90°求得OA=OE=EF= ， 設DE=m，AD=2m，根據勾股定理列方程得到m1=0（舍去），m2= ， 于是得到DA=DA= ， DO= ， 在Rt△ADO中，tan∠DOA== ， cos∠DOA== ， 得到tan∠EGC= ， 過點E作EH⊥AB于點H，在Rt△EOH中OH=OEcos∠EOH=X= ， 于是得到EH=AH=AO﹣OH=-= ， 根據勾股定理求得EC=2，根據三角函數的定義即可得到結論．