Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．在AD上取一點E，AE=1，點F是AB邊上的一個動點，以EF為一邊作菱形EFMN，使點N落在CD邊上，點M落在矩形ABCD內或其邊上．若AF=x，△BFM的面積為S．

（1）當四邊形EFMN是正方形時，求x的值；

（2）當四邊形EFMN是菱形時，求S與x的函數關系式；

（3）當x= 時，△BFM的面積S最大；當x= 時，△BFM的面積S最小；

（4）在△BFM的面積S由最大變為最小的過程中，請直接寫出點M運動的路線長： 。

Answer 1

【答案】（1）x=3;(2)S=;(3);(4)

【解析】

（1）利用AAS證明△DEN≌△AFE即可解決問題；

（2）如圖，過點M作MH⊥AB于H，連接NF，證明△DEN≌△HMF，可得MH=DE=3，由此即可解決問題；

（3）①如備用圖①中，當點N與點D重合時，x的值最小，△FBM的面積最大，在Rt△AEF中，x=，推出S的最大值=12-3；②如備用圖②，當點M在BC上時，x的值最大，△FBM的面積最小；

（4）如備用圖③中，在△BFM的面積S由最大變為最小的過程中，點M的運動軌跡是平行AB的線段，點M運動的路線長=BF的長=8-2.

(1)在正方形EFMN中，∠FEN=90°，EF=EN，

∴ ∠DEN+∠AEF=90°，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴ ∠AEF+∠AFE=90°，

∴ ∠DEN=∠AFE，

在△DEN與△AFE中，

，

∴△DEN≌△AFE（AAS），

∴AF=DE=4－1=3，

∴x的值為3；

(2)過點M作MH⊥AB于H，連接NF，

在矩形ABCD中，∵AB∥CD，

∴∠DNF=∠NFB，

∵四邊形EFMN是菱形，

∴NE‖MF ，NE=MF，

∴∠ENF=∠MFN，

∴∠DNE=∠MFB ，

在△DEN與△HMF中，

，

∴△DEN≌△HMF（AAS），

∴MH=DE=3，BF=8-x，

；

（3）①如備用圖①中，當點N與點D重合時，x的值最小，△FBM的面積最大，

在Rt△AEF中，x=，

∴S的最大值=12-3；

②如備用圖②，當點M在BC上時，x的值最大，△FBM的面積最小，

此時易得CN=AF=x，

∵EN=EF，

∴12+x2=32+（8-x）2，

∴x=，

∴S的最小值為，

故答案為：2，；

（4）如備用圖③中，在△BFM的面積S由最大變為最小的過程中，點M的運動軌跡是平行AB的線段，點M運動的路線長=BF的長=8-2，

故答案為：.