Question

【題目】如圖， 中， 于，且．

（）試說明是等腰三角形．

（）已知，如圖，動點從點出發以每秒的速度沿線段向點運動，同時動點從點出發以相同速度沿線段向點運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設點運動的時間為（秒）．

①若的邊與平行，求的值．

②若點是邊的中點，問在點運動的過程中， 能否成為等腰三角形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①為或；②能， 值為或或，理由見解析

【解析】試題分析：（1）設BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，則AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出結論；

（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當MN∥BC時，AM＝AN；當DN∥BC時，AD＝AN；得出方程，解方程即可；

②根據題意得出當點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t－4；分別得出方程，解方程即可．

試題解析：

（1）證明：設BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，則AB＝5x，

在Rt△ACD中，AC＝＝5x，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，

∴x＝2cm，

則BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．

①當MN∥BC時，AM＝AN，

即10－t＝t，

∴t＝5；

當DN∥BC時，AD＝AN，

得：t＝6；

∴若△DMN的邊與BC平行時，t值為5或6．

②當點M在BD上，即0≤t＜4時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

當t＝4時，點M運動到點D，不構成三角形，

當點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

如果DE＝DM，則t－4＝5，

∴t＝9；

如果ED＝EM，則點M運動到點A，

∴t＝10；

如果MD＝ME＝t－4，

過點E做EF垂直AB于F，

因為ED＝EA，

所以DF＝AF＝AD＝3，

在Rt△AEF中，EF＝4；

因為BM＝t，BF＝7，

所以FM＝t－7，

則在Rt△EFM中，（t－4）2－（t－7）2＝42，

∴t＝．

綜上所述，符合要求的t值為9或10或．