Question

如圖，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，直線y＝x＋b(b＞0)與⊙O交于A、B兩點，點O關于直線y＝x＋b的對稱點O′，
(1)求證：四邊形OAO′B是菱形；
(2)當點O′落在⊙O上時，求b的值．

Answer 1

(1)證明：∵點O、O′關于直線y＝x＋b的對稱，
∴直線y＝x＋b是線段OO′的垂直平分線，∴AO＝AO′，BO＝BO′。
又∵OA，OB是⊙O的半徑，∴OA＝OB。
∴AO＝AO′＝BO＝BO′。∴四邊形OAO′B是菱形．
(2)解：如圖，設直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點坐標分別是

N(－b，0)，P(0，b)，AB與OO′相交于點M。
則△ONP為等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°。
∵四邊形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN。
∴△OMP為等腰直角三角形。
當點O′落在圓上時，OM＝OO′＝1。
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝。

一次函數綜合題，線段中垂線的判定和性質，菱形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理。
(1)根據軸對稱得出直線y＝x＋b是線段OO′D的垂直平分線，根據線段中垂線上的點到比下有余兩端的距離相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，從而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案。
(2)設直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點坐標分別是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根據勾股定理求出即可。