Question

【題目】某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD.大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為30米．

（1）求兩漁船M，N之間的距離(結果精確到1米)．

（2）已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固，壩底BA加寬后變為BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工隊施工10天后，為盡快完成加固任務，施工隊增加了機械設備．工作效率提高到原來的2倍，結果比原計劃提前20天完成加固任務，施工隊原計劃平均每天填筑土石方多少立方米？

(參考數據：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)

Answer 1

【答案】（1）兩漁船M，N之間的距離約為20米；（2）施工隊原計劃平均每天填筑土石方864立方米．

【解析】試題分析：(1)在直角△PEN，利用三角函數即可求得ME的長，根據MN=EM﹣EN求解；
(2)過點D作DN⊥AH于點N，利用三角函數求得AN和AH的長，進而求得△ADH的面積，得到需要填筑的土石方數，再根據結果比原計劃提前20天完成，列方程求解.

試題解析：(1)由題意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．

在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，

在Rt△PEM中，tan 31°＝，∴ME≈＝50(米)．

∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．

答：兩漁船M，N之間的距離約為20米．

(2)如圖，過點D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米．

∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，

∴AG＝24×0.25＝6(米)．

∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，

∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．

∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．

∴S△ADH＝AH·DG＝×36×24＝432(平方米)．

∴需要填筑的土石方為432×100＝43 200(立方米)．

設施工隊原計劃平均每天填筑土石方x立方米，

根據題意，得10＋＝－20.

解方程，得x＝864.

經檢驗：x＝864是原方程的根且符合題意．

答：施工隊原計劃平均每天填筑土石方864立方米．